Атомный проект Ядерный арсенал АЭС Ядерная энергия Физика Ядерные реакторы ТЭС Экология Начертательная геометрия Выполнение чертежей AutoCAD Технические чертежи Ремонт ПК Накопители Звуковая плата Математика

Лабораторный практикум по Сопромату

Совместное действие изгиба и кручения

Для выявления опасного сечения при совместном действии изгиба и кручения строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов по правилам глав 3 и 4. Вопрос о прочности стержня в этом случае решается с помощью тех или иных критериев прочности. Условия прочности имеют вид:

  по критерию наибольших нормальных напряжений:

  по критерию наибольших относительных деформаций:

  по критерию наибольших касательных напряжений:

  по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

.

На основе приведенных соотношений могут быть выведены формулы для расчета, например, диаметров валов круглого сечения. Так, формулы для расчетных диаметров имеют вид:

  по критерию наибольших касательных напряжений:

 ; (5.3.1)

 по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

 (5.3.2)

Расчет кривых брусьев малой кривизны Если отношение высоты h кривого бруса к его радиусу кривизны Ro существенно меньше единицы (h/Ro < 0,2 ), то считается, что брус имеет малую кривизну. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы и к брусу малой кривизны.

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Fcr.

Практические расчеты стержней на устойчивость

Расчет на устойчивость систем с одной или двумя степенями свободы при помощи уравнений равновесия

ДЕЙСТВИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК Динамической считается такая нагрузка, положение, направление и интенсивность которой зависят от времени, так что необходимо учитывать силы инерции тела в результате ее действия. При этом конструкции или их элементы совершают движения, простейшим видом которых являются колебания. Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

Упругие колебания систем с одной степенью свободы Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.

НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ В предыдущих главах использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной точке не превосходило допускаемого напряжения (расчетного сопротивления).

Предельная нагрузка для балок Напряженное состояние изгибаемых конструкций (балок) определяется величинами изгибающих моментов.

Предельная нагрузка при кручении Предельным состоянием для идеально пластического материала будет такое, при котором касательные напряжения во всех точках поперечного сечения станут равными пределу текучести

Задача 5.3.1. Рассчитать радиус круглого цилиндрического вала с прямой осью, несущего два шкива, весом каждый по 1 кН и с одинаковыми диаметрами D = 0,5 м. Длина вала l = 0,5 м (рис. 5.3.1). Натяжение в ведущих ремнях Р1 = 0,8 кН, в ведомых Р2 = 0,2 кН. Ремни левого шкива расположены вертикально, правого – горизонтально, Radm = 65 МПа. Собственным весом вала пренебречь. Использовать критерии прочности наибольших касательных напряжений и удельной потенциальной энергии формоизменения.

Решение. Определяем величину внешних усилий (моментов пар сил и сосредоточенных сил), передаваемых на вал со стороны шкивов. Величина внешних скру-чивающих моментов МI и MII определится разностью натя-жений в ремнях:

MI  = 800·0,25 – 200·0,25 = 150 Н·м; MII = 200·0,25 – 800·0,25 = –150 Н·м.

Кроме кручения вал испытывает изгиб в вертикальной плоскости от веса шкивов G1 = G2 = 1 кН и от суммарной силы натяжения в ремнях левого шкива РI = 0,8 + 0,2 = 1 кН, а также изгиб в горизонтальной плоскости от суммарной силы натяжения в ремнях правого шкива РII = 0,8 + 0,2 = 1 кН. Схема загружения вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюры крутящего момента Т и изгибающих моментов Мв и Мг показаны на рис. 5.3.2. Самым напряженным является сечение, где расположен левый шкив и в котором

Т = 150Н·м, Мв = 180Н·м;

Мг = 20Н·м.

  Для расчета диаметра вала воспользуемся формулами (5.3.1) и (5.3.2), имея в виду, что в них

.

В результате получим по критерию наибольших касательных напряжений:

= 0,0342 м = 3,42 см;

по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

Вал, рассчитанный по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения, более экономичен.

Задача 5.3.2. Схема нагружения вала рулевой машины представлена на рис. 5.3.3. Требуется подобрать диаметр вала, используя критерий наибольших касательных напряжений (dI ) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), и считая Radm = 30 МПа.

Ответ: dI =0,266 см; dII =0,26 см.

Задача 5.3.3. Керамическая труба подвержена действию крутящего момента Т = 0,08 кН·м и изгибающего момента  М = 0,06 кН·м. Определить запас прочности трубы, если предел прочности материала σut = 100 МПа, наружный диаметр трубы D = 0,05 м, внутренний d = 0,04 м. Расчет вести по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения.

У к а з а н и е. Запасом прочности nВ считать отношение предела прочности к расчетному сопротивлению.

Ответ: nВ = 8,7.

Задача 5.3.4. Вал со шкивами диаметрами D1 = 0,4 м и D2 = 0,6 м (рис. 5.3.4) вращается со скоростью n0 = 100 об/мин и передает мощность

U = 30 кВт.

Собственный вес левого шкива G1 = 2 кН, правого шкива G2 = 3 кН, собственным весом вала пренебречь. Ремни левого шкива направлены вертикально, правого – горизонтально. У обоих шкивов натяжение в ведущем ремне вдвое больше, чем в ведомом. Рассчитать диаметр вала (единый по длине), используя критерий наибольших касательных напряжений (dI ) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), и считая Radm = 80 МПа.

У к а з а н и е. Для расчета скручивающего момента Мк нужно воспользоваться формулой (3.2.2):

  (U в кВт),

Ответ: dI = 10,5 см; dII = 10,4 см.

 Задача 5.3.5. Стержень с ломаной осью и диаметром D = 0,1 м одним концом защемлен, а на другом нагружен силой F = 5 кН. Размеры участков стержня указаны на рис. 5.3.5. Найти эквивалентное напряжение, используя критерий удельной потенциальной энергии формоизменения.


Ответ: = 109 МПа.

Задача 5.3.6. Пользуясь критерием наибольших касательных напряжений, подобрать диаметр стального вала лебедки (рис. 5.3.6) грузоподъемностью F = 40 кН при невыгоднейшем положении груза. Диаметр посаженного на вал барабана D = 0,4 м. Расстояние между осями подшипников вала равно 1 м. Допускаемое напряжение Radm = 100 МПа.

Ответ: d = 10,9 см.

Задача 5.3.7. Подобрать диаметры вала на участках АВ и СD для коленчатого вала, нагруженного так, как показано на рис. 5.3.7. Использовать критерий наибольших касательных напряжений (dI) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), считая Radm =80 МПа. Принять F = 2 кН, а = 0,1 м.

Ответ: dI = 3,08 см; dII = 3,04 см.

Задача 5.3.8. Построить эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показанного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу.

 Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) диаметр d круглого сплошного поперечного сечения стального бруса, считая, что Radm = Ry = 240 МПа.

 Решение. При решении задачи введем следующие обозначения:

ось х будем всегда направлять вдоль продольных осей прямолинейных элементов пространственного бруса (рис. 5.3.8, а);

изгибающие моменты будем обозначать как Мz(АВ) – изгибающий момент относительно оси z в точке А элемента АВ, или Мz(ВА) – изгибающий момент относительно оси z в точке В элемента ВА и т.д.;

внутренние усилия будем обозначать как Qz(АВ) – поперечная сила, действующая вдоль оси z в пределах элемента АВ; или N(СВ) – нормальная сила в пределах участка СВ.


Элемент СD. При определении усилий в элементе СD будем использовать систему координат xyz, изображенную на рис. 5.3.8, а около элемента СD. Мысленно проводя сечение в любом месте элемента СD и отбрасывая часть пространственного бруса, содержащую опору А, находим для оставшейся части:

Mx(CD) = My(CD) = My(DC) = Mz(DC) = N(CD) =

= Qz(CD) =0; Mz(CD) = F1a3 = 0,4 кН·м.

  Значение Mz(CD) = 0,4 кН·м откладываем на эпюре Mz в точке С со стороны растянутого волокна в плоскости изгиба хОу (рис. 5.3.8, г). Далее определяем Qy(CD) = F1 =1 кН и откладываем на участке СD эпюры Qy в плоскости изгиба хОу в направлении оси у (рис. 5.3.8, д).

 Элемент СВ. Система координат для рассматриваемого элемента показана на рис. 5.3.8, а. Используя метод сечений и, отбрасывая часть пространственного бруса с опорой А, определяем Mx(CВ) = F1a3 = 0,4 кН·м;

My(CВ) = Mz(CВ) = N(СB) = 0; My(ВC) = F3a2 = = 0,3 кН·м;

Mz(ВC) = F1a2 = = 0,3 кН·м.

 Значение Mx(CВ) откладываем на эпюре Mx (рис. 5.3.8, б), значение My(ВC) – на эпюре My в точке В, значение Mz(ВC) = 0,3 кН·м откладываем на эпюре Mz в точке В со стороны растянутого волокна элемента СВ в плоскости его изгиба хОу (рис. 5.3.8, г). Затем находим Qy(СВ) = F1 =1 кН, Qz(СВ)= = F3 =1 кН и откладываем эти значения на эпюрах Qy, Qz соответственно в соответствующих плоскостях (рис. 5.3.8, д, е).

 Элемент АВ. Для этого элемента, согласно рис. 5.3.8, а, находим

Mx(AB) = F3a2 =  = 0,3 кН·м; My(BA) = F1a3 = –1·0,4 = 0,4 кНм;

My(AB) = –F1a3 – F3a1 – F2a1 = –1·0,4 – 1·0,2 – 2·0,2 = –1 кН·м; Qy(AB) = 0;

Mz(AB) = Mz(BA) = –F1a2 = –1·0,3 = –0,3 кН·м; Qz(AB) = F2 + F3 = 3 кН;

N(AB) = –F1 = –1 кН.

Все полученные числовые значения откладываем на соответствующих эпюрах. Из полученных эпюр видно, что наиболее опасным поперечным сечением будет сечение на опоре А, в котором действуют N(AB)= N = –1 кН;

Мх(АВ) = Мх = 0,3 кН·м; Му(АВ) = Му = 1 кН·м; Mz(AB) = Mz = 0,3 кН·м;


Qz(AB) = Qz =3 кН (рис. 5.3.9). На рис. 5.3.9, а показаны характерные точки 1÷4 круглого поперечного сечения, а на рис. 5.3.9, б представлены нормальные и касательные напряжения, действующие в этих точках. Принимая во внимание, что

  ,

и применяя формулы, приведенные в главе 4, находим

     (а)

 Таким образом, при известном диаметре d пространственного бруса по формулам (а) можно вычислить все действующие напряжения, которые затем легко просуммировать согласно рис. 5.3.9, б:

 

 

 

  (б)

 Если диаметр неизвестен, то в первом приближении по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) его можно вычислить по формуле (5.3.1):

 

r = 0,0178 м. Выше мы учли только изгибающие и крутящий моменты действующие в сечении А (рис. 5.3.9), поэтому примем r = 0,018 м = 1,8 см.

 Проверим прочность в точке 4, используя последние формулы (б),

  Проверим прочность в точке 3, также используя соответствующие формулы (б):

Определим положение нулевой линии в поперечном сечении А, для чего воспользуемся формулой (5.2.1), которую для вычисления положения нулевой линии следует записать в виде:

   (в)

Нейтральная линия пересекает ось z в точке с координатами у = 0, zo, тогда из уравнения (в) находим

откуда определяем 

 Ось у пересекается нулевой линией в точке с координатами уо, z = 0, следовательно,

а 

Задача 5.3.9. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения  пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу. Эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показаны на рис. 5.3.8, б – е, ж. Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а Radm = Ry = 240 МПа.

 Решение. Из приведенных эпюр видно, что наиболее опасным поперечным сечением будет сечение на опоре А, в котором действуют

N(AB) = N = –1 кН; Мх(АВ) = Мх = 0,3 кН·м; Му(АВ) = Му = 1 кН·м;

Mz(AB) = Mz = 0,3 кН·м; Qz(AB) = Qz = 3 кН

(рис. 5.3.10, а). На рис. 5.3.10 показаны характерные точки 1–3 прямоугольного поперечного сечения.


У к а з а н и я. Задачи на кручение прямых брусьев некруглого поперечного сечения решаются методами теории упругости. При решении заданной задачи будем использовать приближенный метод, который заключается в следующем.

  Вводятся параметры: Ik = αb4 – геометрическая характеристика крутильной жесткости,  Wk = βb3 – момент сопротивления при кручении. Коэффициенты α, β определяются по табл. 5.1 в зависимости от величины отношения k = h/b сторон прямоугольного поперечного сечения.

 При h/b > 10 можно пользоваться упрощенными формулами:

Ik = hb3/3, Wk = Ik /b = hb2/3.

 Наибольшие касательные напряжения от крутящего момента Мх будут возникать в середине длинных сторон (точка 3 в поперечном сечении, показанном на рис. 5.3.10, б)

 (а)

 Касательные напряжения в серединах коротких сторон прямоугольного сечения определяют по формуле

 (б)

 Касательные напряжения в угловых точках прямоугольного поперечного сечения равны нулю (рис. 5.3.10, б).

Таблица 5.1

h/b

α

β

γ

h/b

α

β

γ

1,0

1,5

2,0

3,0

0,140

0,294

0,457

0,790

0,208

0,346

0,493

0,801

1,000

0,859

0,795

0,793

4,0

6,0

8,0

10,0

1,123

1,789

2,456

3,123

1,150

1,789

2,456

3,123

0,745

0,743

0,742

0,742

 Рассмотрим поочередно три точки (1÷3). Будем учитывать только действие моментов Мх, Му, Mz, а действием нормальной N и поперечной Qz сил пренебрежем. Запишем условие прочности применительно к точке 1:

,

откуда определяем ширину поперечного сечения

  (в)

 Если предположить, что точка 2 (рис. 5.3.10) является опасной, то условие прочности по критерию максимальных касательных напряжений будет выглядеть следующим образом

откуда и находим ширину поперечного сечения

  (г)

Применяя III теорию прочности для точки 3

,

определяем третье возможное значение ширины бруса

  (д)

Применительно к рассматриваемой задаче для k = h/b = 2 из табл. 5.1 выписываем β = 0,493; γ = 0,795 и по формулам (в), (г), (д) получаем

 

 

 

Из полученных трех значений ширины бруса выбираем наибольшее, следовательно, b = 2,26 см; h = 2b = 4,52 см. Площадь прямоугольного поперечного сечения будет равна А = 10,21 см2.

Аналогичный брус (рис. 5.3.8), но с круглым поперечным сечением был рассчитан в задаче 5.3.8, где был вычислен допускаемый диаметр круглого сплошного сечения d = 3,6 см, следовательно, его площадь поперечного сечения равна А =  

Задача 5.3.10. Построить эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показанного на рис. 5.3.11. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу, a = 0,2 м.

 Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) диаметр d круглого сплошного поперечного сечения стального бруса, считая, что F = 1 кН, Radm = Ry = 240 МПа.


Ответ: d = 2,29 см.

 Задача 5.3.11. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения   пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.12. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу, a = 0,2 м.

Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а q = 5 кН/м, Radm = Ry = 240 МПа.

 У к а з а н и е. При решении задачи необходимо использовать указания, содержащиеся в задаче 5.3.9.

Ответ: b(3) = 1,5 см; h = 3 см.

Задачи 5.3.12; 5.3.13. Для пространственных стержней, представленных на рис. 5.3.13, 5.3.14, требуется построить эпюры крутящих и изгибающих моментов, поперечных сил.


Опорами пространственных брусьев являются подшипники, которые препятствуют линейным перемещениям в направлении двух осей z и у.

 

Общие принципы расчета конструкции

В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям прочности и жесткости, которые к ней предъявляются. Для этого необходимо прежде всего сформулировать те принципы, которые должны быть положены в основу оценки условий достаточной прочности и жесткости.

Методы расчета конструкций выбираются в зависимости от условий работы конструкций и требований, которые к ней предъявляются. Так, наиболее распространенным методом расчета деталей машин на прочность является расчет по допускаемым напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что определяющим параметром надежности конструкции является напряжение или, точнее говоря, напряженное состояние в точке. Расчет выполняется в следующем порядке.

На основании анализа напряженного состояния конструкции выявляется та точка сооружения, где возникают наибольшие расчетные (рабочие) напряжения . Расчетная величина напряжений сопоставляется с предельно допустимой величиной напряжений для данного материала, полученной на основе предварительных лабораторных испытаний. Чтобы не нарушилась прочность элемента, рабочие напряжения в любой его точке должны быть меньше предельных. Для особо ответственных конструкций, для которых требуется не допускать возникновения пластических деформаций, за величину принимается . В тех случаях, когда допустимо возникновение пластических деформаций, как правило, принимается . Для хрупких материалов, а в некоторых случаях и умеренно пластических материалов, принимается .

Для надежной работы элемента нельзя допустить, чтобы рабочие (расчетные) напряжения в наиболее напряженной точке были близки к предельным, нужно обеспечить запас прочности.

Отношение предельного напряжения для материала, из которого изготовлен элемент конструкции, к максимальному рабочему напряжению называют коэффициентом запаса прочности

. (1.16)

Выбор коэффициента запаса прочности – один из основных и наиболее ответственных этапов расчета на прочность. При заниженном коэффициенте запаса прочности снижается надежность работы детали, повышается опасность ее разрушения при эксплуатации. При завышении запаса прочности увеличивается масса и стоимость детали.


На главную