Примеры решения экономических задач математическими методами

Приложения в экономике

Приведем примеры использования функций в области экономики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложения S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадающей кривой (рис. 3.5, а):

 (3.2)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

 (3.3)

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Рис. 3.5

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

Рис. 3.6

При увеличении благосостояния населения, что соответствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предложения S.

В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономическим дисциплинам.

Основы математики Математический анализ представляет собой основу всей высшей математики. Его содержание составляют дифференциальное и интегральное исчисления одной и нескольких переменных. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами Понятие множества является одним из основных в математике. Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать синонимами слова "множество". Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество студентов определенного учебного заведения; совокупность студентов, учащихся на "хорошо" и "отлично" в некоторой школе, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или бесконечное число объектов.

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений  (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности.

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.

Функции одной переменной Определение функциональной зависимости Определение Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x  Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у  Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

Теоремы о пределах функций Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0.

Линии второго порядка Рассмотрим здесь три наиболее используемыx вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проблем рынка, означающая фактически торг между производителем и покупателем (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P1 называет производитель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D1 при этой цене и определяет свою цену Р2, при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена Р2 ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешевле). В свою очередь производитель оценивает спрос D2, соответствующий цене P2, и определяет свою цену Р3, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к "скручиванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р0:  Pn = P0.

3.2. Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

сходящуюся к точке а, причем а  Х или a  X. Соответствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

и правомерно рассмотреть вопрос о ее сходимости.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или пределом функции при х  а), если для любой cходящейся к а последовательности (3.5) значений аргумента х, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции (3.6) сходится к числу А.

Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: f(x)  А. Заметим, что функция f(x) может иметь в точке а только одно предельное значение, поскольку последовательность f(xn) имеет только один предел. 

Приведем несколько примеров. 

Пример 1. Функция f(x) = С = const имеет предел в каждой точке числовой прямой. Действительно, любой последовательности (3.5), сходящейся к точке а, соответствует последовательность (3.6), состоящая из одного и того же числа C, откуда следует, что f(xn)  С при n .

Пример 2. Функция f(x) = х в любой точке а числовой прямой имеет предел, равный а. Действительно, последовательности значений аргумента (3.5) и значений функции (3.6) в этом случае тождественны, и если последовательность {xn} сходится к а, то и последовательность {f(xn)} также сходится к а.

Пример 3. Функция f(x) =  имеет в точке x = 0 предел, равный -2. Действительно, пусть {xn} — любая последовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т.е. lim xп = 0 при n , тогда в силу свойств последовательностей 1—9 имеем

Левый и правый пределы функции

Здесь вводятся и в дальнейшем будут использоваться понятия односторонних пределов функции: когда последовательность значений аргумента xn  а либо слева от точки а (левый предел), либо справа (правый предел), т.е. либо xп < а, либо xп > а. Для правого (левого) предела функции используется символическая запись:

Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = sign x (п. 3.1, пример 3). В точке x = 0 эта функция имеет левый и правый пределы:

Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности {xn}, у которой все элементы xп < 0 (xn > 0), соответствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа -1 (+1), т.е. предел слева (справа) в точке x = 0 также равен этому числу.

ТЕОРЕМА 1. Функция f(x) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, причем они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Предел функции при х  , x -, х

Кроме понятия предела функции в точке существует также и понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности. Для обозначения предела функции при x используется запись:  f(x) = А.

Приведем пример предела функции при х . Пусть f(x) = 1/x. Эта функция имеет предел при x, равный нулю. Действительно, если (3.5) — бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность (3.6) значений функции имеет вид 1/x1, 1/x2,..., 1/xn,...; она является бесконечно малой (п. 2.1), т. е. ее предел равен нулю, или в символической записи  (1/x) = 0.

Аналогично можно доказать, что  (1/xn) = 0 при п > 0.

Теоремы о производных.

Теорема Ролля.

(Жан Ролль (1652-1719)- французский математик)

 Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

 f¢(e) = 0.

 Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

  Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M ¹ m.

 Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за e можно принять любую точку интервала.

  Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим e, a < e < b точку, в которой f(e) = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого Dх ( будем считать, что точка e + Dх находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство: 

Df(e) = f(e + Dx) – f(e) £ 0

При этом

 Но так как по условию производная в точке e существует, то существует и предел .

Т.к.   и , то можно сделать вывод:

Теорема доказана.


На главную