Примеры решения экономических задач математическими методами

Элементы линейной алгебры

ВЕКТОРЫ

Векторное пространство

Понятие и основные свойства вектора

Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел a1, a2, ..., ап называется п-мерным вектором ; при этом числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами (компонентами) вектора .

Определение 2. Совокупность всех n-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством Rn.

Координаты n-мерного вектора можно расположить либо в строку:

либо в столбец:

Запись вида (12.1) называется вектором-строкой, а вида (12.2) — вектором-столбцом.

Матрицы и операции над ними

Обратная матрица Ранг матрицы Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векторов (или из п m-мерных векторов). Поскольку любая система векторов характеризуется рангом (п. 12.2), то естественно встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов — векторы-строки и векторы-столбцы, то у матрицы, вообще говоря, два ранга — строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема.

Системы линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

Метод Гаусса Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количеству вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2n! арифметических действий для нахождения решения системы линейных уравнений. При п = 5 это составит около 3000 действий, при п = 10 — около 3,6 ∙ 108 действий. При решении серьезных задач приходится иметь дело с системами уравнений порядка п = 100 и более. При таких масштабах даже суперкомпьютерам потребуется огромное время для вычисления решения. Кроме того, погрешности компьютерного округления чисел приводят к значительным ошибкам в расчетах численного решения систем уравнений большого порядка

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений Как известно, уравнения с двумя переменными вида описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна); в) прямые совпадают, т.е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

Характеристическое уравнение

Применение элементов линейной алгебры в экономике Использование алгебры матриц Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является призводителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Линейная модель торговли Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Элементы теории вероятностей События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным относительно комплекса условий S называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметически изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уронили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теорема сложения вероятностей Несовместные события Определение Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно. Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.

Обобщения теорем сложения и умножения Появление только одного из независимых событий Рассмотрим примеры совместного применения теорем сложения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно p1 и р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события: В1 и B2. Событие В1 состоит в том, что событие А1 наступило, а событие А2 не наступило; иными словами, В1 = A12. Аналогичным образом определяется и событие B2 = 1A2 (совместное ненаступление события A1 и наступление события А2).

Схема независимых испытаний Формула Бернулли Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Случайные величины и законы их распределения Виды случайных величин Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной величине соответствует множество чисел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины прописными буквами, а их возможные значения — строчными буквами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x1 и х2. Другой пример: случайная величина Y принимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Числовые характеристики дискретных случайных величин Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на базе закона ее распределения.

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Определение 3. Два вектора с одним и тем же числом координат

называются равными, если их соответствующие координаты равны, т.е.

Определение 4. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором

Операции над векторами

Пусть векторы и принадлежат n-мерному векторному пространству Rn:

Будем называть суммой векторов  и  вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

Пусть λ — любое действительное число. Произведением вектора  на число λ будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора  на это число:

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть ,  и  — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1)  +  =  +  — переместительное свойство;

2) ( + ) +  =  + ( + ) — сочетательное свойство;

3) λ( + ) = λ + λ, где λ — действительное число;

4) (λ + μ) = λ + μ , где λ и μ — действительные числа;

5) λ(μ) = (λμ) , где λ и μ — действительные числа;

6) +  = ;

7) для любого вектора  существует такой вектор -, что - = (-1) ,  + (-) = ;

8) 0 =  для любого вектора .

Скалярное произведение векторов

Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:

Как мы видим, формально такое определение скалярного произведения двух векторов согласуется с аналогичным определением двух- и трехмерных векторов. Из данного определения следуют основные свойства скалярного произведения векторов:

1)  = ;

2) (λ) =  (λ) = λ(), где λ — действительное число;

3)  (+) =  + ;

4)  > 0, если  ≠ , и  = 0, если  = .

Введем понятие модуля вектора (его длины) и угла между векторами в виде обобщения на случай п > 3.

Определение 6. Для векторов из n-мерного векторного пространства модуль вектора  и угол φ между двумя ненулевыми векторами  и  определяются по формулам:

Укажем одно важное свойство векторов. Векторы  и  будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

Равенство (12.5) является аналогом условия перпендикулярности векторов в двух- и трехмерном случаях, когда в равенстве (12.4) cosφ = 0.

12.2. Линейная зависимость векторов

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают одной буквой и порядковым номером:

Определение 1. Линейной комбинацией векторов (12.6) называется вектор вида

где λ1, λ2, ..., λk — любые действительные числа.

Например, пусть даны три вектора: 1 = (1, 2, 0), 2 = (2, 1, 1) и 3 = (-1, 1, -2). Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор  = (4, 11, -5).

В случае равенства (12.7) говорят также, что вектор  линейно выражается через векторы (12.6) или разлагается по этим векторам.

Определение 2. Система ненулевых векторов (12.6) называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2, ..., λk, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же равенство (12.8) для данной системы векторов (12.6) возможно лишь при λ1 = λ2 = ... = λk = 0, то эта система векторов называется линейно независимой.

Например, система двух векторов 1 = (1, 0) и 2 = (0, 2) является линейно независимой; система двух векторов 1 = (1, 2, 1) и 2 = (2, 4, 2) является линейно зависимой, так как 2 — 21 = .

Пусть система векторов (12.6) является линейно зависимой. Выберем в сумме (12.8) слагаемое, в котором коэффициент λs ≠ 0, и выразим его через остальные слагаемые:

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (12.7) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).

Укажем свойства линейно зависимой системы векторов.

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве. В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой, мы имеем

т.е. эти векторы коллинеарны, или, что то же самое, находятся на параллельных прямых. В пространственном случае три линейно зависимых вектора параллельны одной плоскости, т.е. компланарны (рис. 12.1); достаточно "подправить" соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. В пространстве Rn любая система, содержащая т векторов, линейно зависима при т > п.

Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов

Максимально независимой подсистемой этой системы векторов называется частичный набор векторов системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы, б) любой вектор системы линейно выражается через векторы этого набора.

Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько базисов.

Понятие базиса распространяется и на пространство Rn, которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность n-мерных векторов.

Определение 3. Система n векторов называется базисом пространства Rn,если:

1) векторы этой системы линейно независимы;

2) всякий вектор из Rn линейно выражается через векторы данной системы.

12.3. Разложение вектора по базису

Представление вектора в произвольном базисе

Пусть система векторов

является базисом, а вектор  — их линейной комбинацией. Имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор  может быть представлен в виде линейной комбинации векторов (12.9) двумя способами:

где наборы чисел αi и βi, среди которых обязательно есть ненулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого, имеем

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы (12.9), в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения αi и βi), равна нулю, т.е. данная система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

Стало быть, в произвольном базисе пространства Rn

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам:

причем это разложение является единственным для данного базиса. Коэффициенты разложения

называются координатами вектора  в базисе (12.10), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора из Rn в данном базисе.

Задача нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса (12.10) является, вообще говоря, непростой. Нужно приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора  в (12.11). Пусть базисные векторы и вектор  заданы в следующей координатной форме:

Выполнение процедуры, описанной выше, приводит к системе п линейных уравнений относительно п неизвестных координат разложения вектора  в базисе (12.10):

Такие системы уравнений и методы их решения представляют отдельные разделы линейной алгебры; они будут рассмотрены в следующих главах.

Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

Ортогональные базисы хорошо известны и широко используются на плоскости и в пространстве (рис. 12.2). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, не требующей трудоемких вычислений.

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора  в ортогональном базисе (12.13). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор 1. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент α1 определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора :

Нетрудно видеть, что соотношения (12.15) имеют смысл, поскольку |i| ≠ 0.

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (12.13) имеют единичную длину (|i| = 1), или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным и координаты разложения (12.15) имеют наиболее простой вид:

УПРАЖНЕНИЯ

12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3 + 4 - , где  = (4, 1, 3, -2), = (1, 2, -2, 3),  = (10, 8, 1, -3).

12.2. Найти линейную комбинацию векторов

где , ,  — векторы, указанные в предыдущей задаче.

12.3. Для векторов  = (2, 4, -3, 0) и  = (-1, 2, 2, -5) найти их длину и угол между ними.

12.4. Вычислить ( - )2 , если |а| = 2, |b| = 4, угол между векторами φ = 135°.

12.5. Найти координаты вектора  = (2, -4, 3, 5) в ортогональном базисе, состоящем из векторов

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида  можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:


На главную