Примеры решения экономических задач математическими методами

Задания по теме "Элементы теории вероятностей"

1. Задачи на случайные события

1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обменивает 5 монет, а второй — 8 монет.

1.2. В ящике находится 12 деталей, среди которых имеются 3 нестандартные. Найти вероятность того, что 3 взятые наугад детали будут стандартными.

1.3. В урне находится 20 шаров: 15 белых и 5 красных. Из урны извлекают один шар, затем, не возвращая его обратно, извлекают второй. Найти вероятность появления красного шара при втором извлечении.

1.4. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера. Найти вероятность того, что при наборе номера наугад он наберет его правильно не более чем с четырех попыток.

1.5. В лотерее разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей на каждые 5000 билетов. Найти вероятность выигрыша вообще.

1.6. В ящике находится 12 деталей, из которых 3 нестандартные. Из ящика последовательно, одну за другой, берут две детали. Найти вероятность того, что обе детали будут стандартными.

1.7. В цеху находятся четыре однотипных станка. Вероятности исправного состояния этих станков соответственно равны 0,7, 0,9, 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что все станки находятся в эксплуатации.

1.8. На станции «Скорой помощи» дежурят две машины. Вероятности технической исправности машин равны соответственно 0,95 и 0,75. Найти вероятность исполнения поступившего вызова второй машиной.

1.9. Инвестиционный фонд вкладывает поровну средства в пять предприятий при условии возврата ему каждым предприятием через определенный срок 125% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0,3. Найти вероятность того, что по истечении срока кредита фонд получит обратно не менее вложенной суммы.

1.10. Таможенный досмотр автомашин осуществляют два инспектора. В среднем из каждых 100 машин 45 проходит через первого инспектора. Вероятность того, что при досмотре машина, соответствующая таможенным правилам, не будет задержана, составляет 0,95 у первого инспектора и 0,85 у второго. Машина, соответствующая таможенным правилам, не была задержана. Найти вероятность того, что она прошла досмотр у первого инспектора.

1.11. В первой коробке находится 10 шаров, из которых 4 синих; во второй коробке — 5 шаров, из которых 3 синих. Из первой коробки наугад перекладывают один шар во вторую коробку. Найти вероятность извлечения из второй коробки синего шара.

1.12. Три орудия произвели залп по цели, и два снаряда поразили ее. Найти вероятность поражения цели при залпе вторым орудием, если вероятности поражения цели орудиями равны соответственно 0,5, 0,6 и 0,7.

1.13. Найти вероятность поражения цели при залповой стрельбе отделением из 5 солдат, если вероятность попадания в цель каждым солдатом составляет 0,5.

1.14. Из урны, содержащей белые и черные шары, извлекают по одному шару 4 раза. Найти вероятность появления белого шара: а) менее трех раз; б) не менее трех раз.

1.15. Вероятность выпуска стандартного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 100 приобретенных изделий будет ровно 80 стандартных.

1.16. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребуют возврата депозита.

1.17. Вероятность появления брака в каждом из 2500 изделий равна 0,2. Найти вероятность появления стандартных изделий в количестве: а) не менее 1250; б) не менее 1200 и не более 1250; в) не более 1249. Выпуск каждого изделия полагать независимым событием.

1.18. Вероятность обращения в травматологический пункт для каждого рабочего на стройке составляет 0,3. Найти, среди какого количества строителей следует ожидать обращения в пункт не менее 50 человек.

1.19. Банк выдал кредиты размером 400 тыс. р. каждому из 2000 клиентов на год под 15% годовых. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов составляет 0,05. Какой доход гарантирован банку с вероятностью: а) 0,7; б) 0,95 ?

1.20. Вероятность появления события в каждом из 1200 независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 2% по абсолютной величине.

2. Задачи на случайные величины

2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стандартных деталей среди отобранных.

2.2. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержания в тираже ровно 10 бракованных календарей.

2.3. Случайная составляющая дохода равна 2,5Х, а случайная составляющая затрат равна 40Y. Найти дисперсию прибыли при следующих условиях: случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,6; случайная величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 3; случайные величины Х и Y являются независимыми.

2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

2.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов реле в 10 независимых опытах, если вероятность отказа реле в каждом опыте равна 0,1.

2.6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

2.7. Найти ковариацию и коэффициент корреляции Х и Y для двумерной случайной величины, распределение которой следующее:

2.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = (arcctg x)/π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

2.9. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что Х примет значение: а) менее 1; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) не менее семи.

2.10. Дискретная случайная величина дана законом рапределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.

2.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

2.12. Случайная величина Х задана на положительной полуоси Ох функцией распределения F(x) = 1 - е-3x. Найти математическое ожидание величины X.

2.13. Случайная величина Х задана на интервале (0, 2) плотностью распределения f(x) = x/8; вне этого интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения и дисперсию величины X.

2.14. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2e-2x на интервале (0, ). Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

2.15. Случайная величина задана функцией распределения

Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (5, 10).

2.17. Сторона квадрата измерена приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию площади квадрата, если его сторону рассматривать как случайную величину с равномерным распределением на этом интервале.

2.18. Размер женской обуви является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 37 и дисперсией 4. Какой процент от общего объема закупок следует предусмотреть магазину для обуви 38 размера, если этот размер находится в интервале (37,5, 38,5)?

2.19. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна 36.

2.20. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания Х в интервал (5, 10) равна 0,2. Найти дисперсию.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

   < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

  < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

  Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.


На главную