Атомный проект Ядерный арсенал АЭС Ядерная энергия Физика Ядерные реакторы ТЭС Экология Начертательная геометрия Выполнение чертежей AutoCAD Технические чертежи Ремонт ПК Накопители Звуковая плата Математика

Примеры решения задач по электротехнике

Задача 11.10

Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность L0 = 1,57 мкГн/м и емкость С0 = 7,1 пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь (R0 = G0 = 0). Частота переменного тока f = 108 Гц.

Определить:

а) волновое сопротивление, коэффициенты ослабления и фазы, длину волны; б) входное сопротивление отрезка этого фидера длиной в 1/8 длины волны при холостом ходе и коротком замыкании; в) расчет повторить для отрезков фидера длиной в 1/4, 3/8 и 1/2 длины волны, для каждого из рассчитанных случаев начертить эквивалентную схему фидера; г) начертить кривые изменения входных сопротивлений Zх и Zк в функции длины фидера.

Решение

а) вычислим Zв, β и λ соответственно по формулам

   и

  Ом;

 рад/м;

  м;

б) из формулы  находим  а для фидера длиной l = λ/8

βl=

Входные сопротивления определим по формулам Zx=Zв/jtgβl; Zк=jZвtgβl;

  Ом;

 Ом.

Эквивалентная схема двухполюсника при холостом ходе – емкость с сопротивлением 470 Ом, при коротком замыкании – индуктивность с сопротивлением 470 Ом.

Расчет для других значений длины фидера рекомендуем проделать самостоятельно:

при l = λ/4 Zx = 0, Zк = ∞;

при l = 3λ/8 Zx = j470 Ом, Zк = -j470 Ом;

при l = λ/2 Zx = ∞, Zк = 0.

Кривые изменения входного сопротивления в функции длины фидера можно рассчитать по формулам Zx = Zв/jtgβl; Zк = jZвtgβl:

при холостом ходе Zн = ∞ Zx = -jZвtgβg;

при коротком замыкании Zн = 0 Zк = jZвtgβg.

Во всех рассмотренных случаях входное сопротивление линии является чисто реактивным: Z = jX (Zx = jXx, Zк = jXк).

Кривая Хк = f1(g) имеет катангенсоиды, а кривая Хк = f2(g) – тангенсоиды (рис. 11.10 а и б).

Рис. 11.10

Задача 11.11

Фидер, параметры которого L0 = 1,57 мкГн/м, С0 = 7,1 пФ/м, имеет длину l= =5 м и находится в режиме холостого хода. Подсчитать действующие значения напряжения в конце и тока в начале линии, если к фидеру подключено напряжение u1 = U1msinωt (U1 = 10 В, f = 108 Гц). Начертить кривые распределения действующих значений напряжения и тока в начале фидера. Начертить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль фидера для двух моментов времени: t = 0 и t = T/8. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны.

Решение

Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:

βl = 2,1·5 = 10,5 рад = (4,22+2π) рад;

cosβl = cos(4,22+2π) = -0,472;

sinβl = sin(4,22+2π) = -0,881.

Примем В. Из формулы ; для режима холостого хода (I2=0) определим действующее значение напряжения в конце линии (x=l):

U2=U1/cosβl=10/(-0,472)=21,2 В.

Действующее значение тока в начале линии вычислим по формуле

  мА.

Комплексные действующие значения напряжений и токов можно записать на основании формул

  ;

  В;

 мА.

Действующие значения напряжений и токов соответственно равны

  В;

 мА.

По этим уравнениям на рис. 11.11 а построены соответствующие кривые.

Рис. 11.11

Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряжений и токов в режиме холостого хода (I2 = 0):

u=U2mcosβg sinωt; 

Эти уравнения примут вид для момента t = 0:

u = 0; мА;

для момента t = T/8

В;

мА.

На рис. 11.11 б построены кривые напряжения и тока для моментов t = 0 и T/8.

Коэффициенты отражения со стороны нагрузки определим по формуле

;

Коэффициент бегущей волны

Задача 11.12

Линию, параметры которой L0 = 1,67 мкГн/м, С0 = 6,67 пФ/м, l = 5 м, требуется согласовать с нагрузкой R2 = 5Zв с помощью четвертьволнового отрезка.

Определить волновое сопротивление Zв1 этого отрезка так, чтобы в точках аа соединения линии со вставкой не было отражения. Полагая, что напряжение на нагрузке U2 = 10 B, f = 108 Гц, вычислить напряжение и ток в начале вставки и в начале линии. Рассчитать и построить графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии и вставки. Вычислить мощность, подводимую к линии и расходуемую в нагрузке.

Решение

Схема согласования линии с нагрузкой с помощью четвертьволновой вставки дана на рис. 11.12 а.

Рис. 11.12

Вычислим длину волны и коэффициент фазы по формулам:

λ = 2π/β; υв = λ/Т = ω/β;

λ = c/f = 3·108/108 = 3 м; β = 2π/λ = 2π/3.

Длина четвертьволновой вставки l1 = λ/4 = 3/4 = 0,75 м.

Входное сопротивление нагруженной четвертьволновой вставки между точками аа можно определить, используя формулу

  где thn = Zн/Zв или

У такой вставки l1 = λ/4, а следовательно, по формулам 

λ = 2π/β;  υв = λ/Т = ω/β имеем βl1 =

Подставляем найденное значение βl1 в и, обозначая волновое сопротивление вставки Zв1, будем иметь

Последнее выражение дает неопределенность, раскрывая которую, получим

Для согласования линии с нагрузкой необходимо выполнить условие

Zвх = Zв или .

Отсюда

 Ом.

Напряжение и ток в начальной вставке (точки аа) найдем по формулам

;

в которых следует принять g = l1 и волновое сопротивление Zв1:

мА.

Линия в точках аа согласована с нагрузкой. Напряжение и ток в начале линии при отсчете с конца определяем формулами

Действующие значения напряжения и тока представляют собой модули последних комплексов и соответственно

.

Графики этих величин – прямые, параллельные оси y (рис. 11.12 б). Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль вставки определяем по формуле

где m = Zв1/R2 = 1120/2500≈0,45;

  B;

 мА.

По этим уравнениям на рис. 11.12 б построены кривые U(g) и I(g).

Расчет мощностей

Действующие значения напряжения и тока в начале линии имеют такие же значения, как и в точках аа, т.е. U1 = 4,5 B, I1 = 9 мА, а по фазе совпадают, так как линия согласована с резистивной нагрузкой, а подводимая к линии мощность P1 = =U1·I1 = 4,5·9·10-3 ≈ 40·10-3 Вт.

Мощность, расходуемая в нагрузке:  Вт;

т.е. P2 = P1. Этот результат можно было предвидеть, если учесть, что линия идеальная и, следовательно, не имеет потерь, поэтому вся подводимая к линии мощность расходуется в нагрузке.

Задача 11.13

Линию без потерь, параметры которой Zв = 500 Ом, β = 2,1 рад/м, длина l = 5 м, надо согласовать с резистивной нагрузкой R2 = 2500 Ом с помощью короткозамкнутого шлейфа, имеющего такое же волновое сопротивление, как и линия на рис. 11.13. Определить минимальную длину шлейфа lш и место его включения, при которых входное сопротивление в месте присоединения шлейфа (точки bb) равно волновому сопротивлению линии.

Чему в этом случае равны ток, напряжение и мощность, подводимая к линии и расходуемая в нагрузке?

Напряжение на нагрузочном сопротивлении U2 = 10 В, частота f = 108 Гц.

Решение

Рис. 11.13

Из рис. 11.13 видно, что участок линии длиной l’ и шлейф, имеющий длину lш, соединены параллельно. Вычислим их эквивалентное сопротивление. Для этого надо определить входные сопротивления: Z’ – участка линии длиной l’ и Zш – сопротивление короткозамкнутой линии без потерь длиной lш. Каждое из этих сопротивлений вычисляем по формуле :

  где m = Zв/R2; Zвх ш = jZвtgβlш.

Входные проводимости этих участков – величины, обратные их сопротивлениям. Входная проводимость участка линии длиной l’ представляет собой комплексную величину, а входная проводимость шлейфа – мнимую. Эти проводимости соответственно

Входное сопротивление любого отрезка линии, нагруженного согласованно, должно быть равно волновому сопротивлению. Это означает, что входное сопротивление в точках bb, представляющее собой сопротивление двух параллельных ветвей, тоже должно быть равно Zв:

Учитывая, что волновое сопротивление линии без потерь является действительной величиной, получим

1/Zв = G’; B’ = Bш;

или

  (1)

и

  (2)

Уравнение (1) с учетом значения m можно преобразовать следующим образом:

Следовательно, длину участка линии, находящегося за местом присоединения шлейфа, можно найти по формуле

  (3)

Подстановка выражения tgβl’ в уравнение (2) дает возможность найти длину шлейфа lш. Простейшие преобразования приводят к формуле

  (4)

Формулы (3) и (4) содержат круговые функции, которые многозначны. Это приводит к многозначности величин l’ и lш. При расчете следует выбирать наименьшее значение lш, так как это обеспечивает наименьшие размеры согласовывающего устройства.

Подставляя числовые значения в формулу (4), получим

Здесь принят знак плюс, так как при этом значении lш минимально.

Наконец по формуле (3) находим

Напряжение в точках bb присоединения шлейфа вычислим по формуле

где m = Zв/Zн.

Так как линия не имеет потерь, то напряжение в ее начале имеет тоже значение, т.е. U1 = 4,46 В. Ток в начале линии (так как линия нагружена на согласованную нагрузку):

I1 = U1/Zв = 4,46/500 = 8,92·10-3 А = 8,92 мА.

Мощность, поступающая в линию:

P1 = U1I1 = 4,46·8,92·10-3 = 40 мВт.

Мощность, расходуемая в нагрузке:

P2 = U2I2 = 10·(10/2500) = 40 мВт.

Мощности P1 = P2, так как линия не имеет потерь.

Задача 11.14

Резонатор (колебательный контур) выполнен из короткозамкнутого отрезка четвертьволновой медной двухпроводной линии длиной l = 0,75 м (рис. 11.14 а, б). Диаметр провода d = 4 мм, расстояние между ними а = 20 см. Определить длину волны λ0, резонансную частоту f0, первичные параметры отрезка линии R0, L0, C0?, волновое сопротивление Zв, коэффициент затухания α и входное сопротивление Zвх короткозамкнутого отрезка линии.

Вычислить параметры контура, эквивалентного четвертьволновому отрезку линии, и его добротность.

Рис. 11.14

Решение

Длина волны и соответствующая ей частота:

λ0 = 4l = 4·0,75 = 3 м; f0 = C0/λ0 = 3·108/3 = 108 Гц = 100 МГц.

Резистивное сопротивление единицы длины линии найдем по формуле

R0 = 16,65 = 16,65·10-2· = 420 Ом/км = 0,42 Ом/м.

Индуктивность и емкость единицы длины провода вычислим по формулам:

  Гн/км = 1842 мкГн/м;

Ф/км = 6,03 мкФ/м.

Волновое сопротивление и коэффициент затухания определяем по формулам:

.

Входное сопротивление

 где .

С учетом того что

Из теории известно, что эквивалентным коротковолновому четвертьволновому отрезку линии является параллельный контур (рис.12.14 б), параметры которого находим по формулам:

;

Добротность контура

Задача 11.15

Резонатор выполнен в виде разомкнутого четвертьволнового отрезка двухпроводной линии, параметры которой даны в предыдущей задаче. Вычислить параметры контура, эквивалентного разомкнутому четвертьволновому отрезку, и его добротность.

Решение

Эквивалентным разомкнутому четвертьволновому отрезку линии является последовательный контур R, L, C, параметры которого вычисляем по следующим известным из теории формулам:

  Ом;

 Гн;

Отметим, что добротность четвертьволнового отрезка линии в режимах короткого замыкания и холостого хода одна и та же.

Библиографический список

1. Теор. основы электротехники: Учеб. для вузов / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 576 с.: ил.

2. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. – 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 576 с.: ил.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2000. – 638 с.: ил. + Прил.

4. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1970. Ч. 1. 592 с.

5. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. Пособие для энергет. и прибростроит. специальностей вузов / Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди и др.; под ред. Л. А. Бессонова. – 4-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 2000. – 528 с.: ил. .

6. Шебес М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1990. 554 с

7. Сборник задач по расчету электрических цепей. Под ред. С. И. Куренева. М.: Высш. шк., 1967. 384 с.


На главную