Атомный проект Ядерный арсенал АЭС Ядерная энергия Физика Ядерные реакторы ТЭС Экология Начертательная геометрия Выполнение чертежей AutoCAD Технические чертежи Ремонт ПК Накопители Звуковая плата Математика

Примеры решения задач по электротехнике

Периодические несинусоидальные напряжения и токи

Задача 7.1

 Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения постоянной амплитуды Um длительностью tи (рис. 7.1 а).

Дано: Um= 10 В, tи = 0,2 мс, T = 1 мс.

  Полученную функцию представить также в виде комплексного ряда Фурье. Построить амплитудно-частотный спектр в зависимости от: а) номера гармоники n и б) угловой частоты ω. Такие же спектры построить, если Т = 2 мс, остальные длины те же.

 Рис. 7.1

Решение

Уравнение заданной кривой в интервале от t = 0 до tи f1(t) = Um, в интервале от t = tи до t = T − f2(t) = 0.

Разбивая область интегрирования на два участка, с помощью формул


 

  учитывая, что f1(t) = Um, f2(t) = 0, находим коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник:

  Вычисляем коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник. При этом имеем в виду, что

рад.

Для удобства расчеты сведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nω1=ωn

0

2π∙103

4π∙103

6π∙103

8π∙103

10π∙103

12π∙103

14π∙103

16π∙103

18π*103

20π*103

ωntn/2=ωn∙10-4

0

0,2π

0,4π

0,6π

0,8π

π

1,2π

1,4π

1,6π

1,8π

sin(nω1tи/2)

0

0,588

0,951

0,951

0,588

0

-0,588

-0,951

-0,951

-0,588

0

Un,m, В

2

3,74

3,03

2,02

0,935

0

-0,624

-0,866

-0,757

-0,416

0

ψn , рад

-

0,3π

0,1π

-0,1π

-0,3π

-

-0,7π

-0,9π

-1,1π

-1,3π

-

Искомый ряд

u = [2 + 3,74sin(ω1t + 0,3π) + 3,03sin(2ω1t + 0,1π) + 2,02sin(3ω1t - 0,1π) +  + 0,935sin(4ω1t - 0,3π) - 0,624sin(6ω1t - 0,7π) - 0,866sin(7ω1t - 0,9π) - 0,757sin(8ω1t - - 1,1π) - 0,416sin(9ω1t - 1,3π) +…], В.

Или, учитывая, что – sin(nω1t - ψn) = sin(nω1t - ψn ±π), окончательно получим

u = [2 + 3,74sin(ω1t + 0,3π) + 3,03sin(2ω1t + 0,1π) + 2,02sin(3ω1t - 0,1π) + + 0,935sin(4ω1t - 0,3π) + 0,624sin(6ω1t + 0,3π) + 0,866sin(7ω1t + 0,1π) + + 0,757sin(8ω1t - 0,1π) + 0,416sin(9ω1t - 0,3π) +…], В.

Для определения ряда Фурье в комплексной форме  находим комплексные амплитуды

Таким образом, комплексная форма ряда Фурье

  На основе полученных результатов на рис. 7.1 б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в зависимости от номера гармоники (расчеты для n от 1 до 10 даны в табл. 7.1; аналогичные расчеты для n = 11…30 рекомендуется проделать самостоятельно).

  По данным табл. 7.1 на рис. 7.1 в построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от ωn = nω1. Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует 1·10 -3 с -1; по оси ординат в одном делении 100·10 -6 В·с (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на ω1 = 2π/T).

На рис. 7.1 г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от n при
T = 2 мс, а на 7.1 д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от ωn (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно).

  Из рис. 7.1 в, д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности tи зависят от периода Т следования импульсов. Чем он больше, тем гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.

 На рис 7.1 б - д отложены значения 1/2Un, соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т.е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).

Задача 7.2

 К зажимам цепи (рис. 7.2), параметры которой R = 30 Ом, L1 = 60 мГн; R1 =  = 18 Ом, приложено напряжение u = [120 + 200sinω1t + 50sin(3ω1t + 300)] В.

Рис. 7.2

Частота основной гармоники f1 = 50 Гц. Написать выражения мгновенных значений тока i, напряжения uab на участке ab. Определить показания приборов, если А1 и V1 – приборы магнитоэлектрической системы без выпрямления – показывают постоянные составляющие, А2 и V2 – приборы индукционной системы – показывают действующее значение переменной составляющей, А3 и V3 – приборы тепловой системы – показывают действующее значение тока и напряжения. Вычислить активную мощность, расходуемую в цепи.

Решение

Постоянные составляющие тока и напряжения на участке ab:

I(0) = U0/(R+R1) = 120/(30+18) = 2,5 A;

Uab(0) = R1I(0) = 45 B.

Расчет для первой гармоники:

Напряжение на участке ab:

Расчет для третьей гармоники:

,

Уравнение для i и uab:

i = [2,5 + 3,88sin(ω1t - 21°25’) + 0,674 sin(3ω1t - 19°40’)] A;

uab = [45 + 101 sin(ω1t + 24°55’) + 40 sin(3ω1t + 52°40’)] B.

Найдем показания приборов:

амперметр A1 Io = 2,5 A;

вольтметр V1 Uo = 120 B;

амперметр A2 

вольтметр V2

амперметр A3 

вольтметр V3

Мощность, расходуемая в цепи, определяется по формуле

P = U(0)I(0) + U(1)I(1)cosφ1 + U(3)I(3)cosφ(3) =


На главную