Задачи по курсу "Ядерная и нейтронная физика"

При радиоактивном распаде ядер нуклида А1 образуется радионуклид А2. Их постоянные распада равны λ1 и λ2. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклида А1 в количестве N01, определить:

а) количество ядер нуклида А2 через промежуток времени t;

б) промежуток времени, через который количество ядер нуклида А2 достигнет максимума;

в) в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?

Решение

а) Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:

N1(t) = N10 exp(-λ1t),

(2.11.1)

где N10 - начальное количество ядер нуклида А1.

Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс ядер нуклида А2 за время dt:

dN2 = λ1N1dt – λ2N2dt.

(2.11.2)

Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А2, которые возникают за время dt, второй - среднее число ядер нуклида А2, которые распадаются за время dt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид:

dN2/d t = λ1N10exp(-λ1t) – λ2N2.

(2.11.3)

Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной. Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть

N2 (t) = С(t) exp(-λ2t),

(2.11.4)

в котором С(t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функции С(t):

dС/d t = λ1N10exp[(λ2 - λ) t],

 решение которого

.

(2.11.5)

Константа С1 определяется из начальных условий.

Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим

.

(2.11.5)

Если при t = 0, N20 = 0, то окончательно имеем

.

(2.11.6)

 

б) Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахождения tm – времени накопления максимального числа ядер нуклида А2:

,

из которого

.

(2.11.7)

 

в) Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение

.

 Если λ2 >> λ1 и t >> 1/ λ2 ≈ (T1/2)2, то

.

(2.11.8)


На главную