Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена


Символьная математика Математические системы Символьные операции трехмерные графики математические операторы Редактирование документа Работа с ячейками Гиперссылка Управление работой ядра Операции поиска Справочная база данных

Компьютерная математика – это совокупность методов и средств, обеспечивающих максимально комфортную и быструю подготовку алгоритмов и программ для решения математических задач любой сложности, при этом в подавляющем большинстве случаев с высокой степенью визуализации всех этапов решения.

Одна из широко распространенных математических задач представления данных — разложение заданной аналитической функции в степенной ряд Тейлора относительно некоторой узловой точки с абсциссой хО. Такой ряд нередко проще самой функции (в том смысле, что не требует вычисления даже элементарных функций и вычисляется с помощью только арифметических операций) и дает единообразное представление для разлагаемых функций в виде обычных степенных многочленов.

Большинство достаточно гладких функций, не имеющих разрывов в области р"аз-ложения, довольно точно воспроизводятся рядом Тейлора. Как правило, такие разложения достаточно просты в окрестностях узловой точки разложения.

Для разложения в ряд используются следующие функции системы Mathematical

Series[f, {х, х0, п}]— выполняет разложение в степенной ряд функции f в окрестности точки х=х0 по степеням (х-х0) ^{^} n;

Series [f, {х, х0, nх}, {у, у0, nу}] — последовательно ищет разложения в ряд сначала по переменной у, затем по х;

SeriesCoef ficient [s,n] — возвращает коэффициент при переменной n-й степени ряда s;

SeriesData [х, х0, {а0, al,...}, nmin, nmax, den] —представляет степенной ряд от переменной х в окрестности точки х0. Величины ai являются коэффициентами степенного ряда. Показатели степеней (х-х0) представлены величинами nmin/den, (nmin+1) /den, ..., nmax/den.

Суть разложения функции в степенной ряд хорошо видна из разложения обобщенной функции/(д:), представленного на рис. 5.1 (выходные ячейки имеют стандартный формат).

Рис. 5.1. Разложение в ряд обобщенной функции f(x)

В первом примере разложение идет относительно исходной точки х0=0, что соответствует упрощенному ряду Тейлора, часто называемому рядом Маклорена. Во втором случае разложение идет относительно исходной точки х0, отличной от нуля. Обычно такое разложение сложнее и дает большую остаточную погрешность.

В соответствии с принятой математической символикой эта погрешность обозначается как О [x] ⁱ с показателем степени, указывающим на порядок погрешности. Следует отметить, что разложение в ряд использует особый формат вывода, частью которого и является член остаточной погрешности. На рис. 5.2 показано разложение в ряд Тейлора для нескольких функций, причем вывод дан в стандартной форме.

Рис. 5.2. Примеры представления функций рядами

Нетрудно заметить, что не все функции разлагаются в ряд Тейлора системой . Mathematica. Например, не имеют разложения логарифм и квадратный корень — они возвращаются в исходном виде. А разложение факториала представлено через гамма- и полигамма-функции.

Точка M равномерно движется по прямой ON, равномерно вращающейся вокруг точки O. Составить уравнение траектории точки M (спираль Архимеда).

Компьютерная математика Математические системы Mathematica