На главнуюГеометрические приложения криволинейных интегралов
Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
Длина кривой Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором
- Длина кривой;
- Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
- Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.
- Векторная алгебра Введение в математический анализ Аналитическая геометрия
. Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом
где
− производная, а
− компоненты векторной функции
. Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой
Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции
в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле
Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением
, и функция
является непрерывной и дифференцируемой в интервале
, то длина кривой определяется выражением
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами
Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки. Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде
, то площадь соответствуюшей области равна
![]()
Рис.1 Рис.2 Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами
![]()
Найти длину кривой
при условии
.
Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором
в интервале
![]()
Вычислить длину параболы
в интервале
.
Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением
![]()
Найти площадь области, ограниченной гиперболой
, осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой
, и прямыми x = 0, x = 2π, y = 0.
Рассмотрим пример. Найти
.
Решение.
- это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению,
. Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т.к. при
справедливы неравенства
, а
, очевидно, сходится.
Обозначим
(очевидно,
). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным,
, где
- квадрат, а
- четверти круга, соответственно, радиусов
. Т.к.
, то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла
. В интеграле
п перейдем к полярным координатам:
. Аналогично,
и
. При стремлении
получаем, что
, т.е.
.