На главнуюГеометрические приложения двойных интегралов
Площадь плоской фигуры Если f (x,y) = 1 в интеграле, то двойной интеграл равен площади области интегрирования R. Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде
Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
![]()
Объем тела Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой
Рис.1 Рис.2 В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями
, объем тела равен
Для области R типа II, ограниченной графиками функций
, объем соответственно равен
Если в области R выполняется неравенство
, то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен
Площадь поверхности Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой
при условии, что частные производные
и
непрерывны всюду в области R. Площадь и объем в полярных координатах Пусть S является областью, ограниченной линиями
(рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью
Рис.3 с основанием S, выражается в полярных координатах в виде
![]()
Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами
и вертикальными прямыми
.
Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями
.
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
.
Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением
.
Вычислить объем единичного шара
Вычислить площадь сферы радиуса a.
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
вычисляют, используя следующие тригонометрические формулы:
![]()