На главнуюОпределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
где
Свойства определенного интеграла Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].
где k - константа;
- Если
для всех
, то
.
- Если
в интервале [a, b], то
![]()
Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Вспомним теперь теорему Стокса:
, где
- непрерывно дифференцируемые функции,
- кусочно гладкая поверхность,
- ее край, причем направление обхода
относительно выбраной стороны
является положительным.
Получим определение
без использования системы координат. Пусть
- точка,
- плоскость, в которой лежит окружность
радиуса
с центром в
. Тогда
по теореме о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка
близка к
. По теореме Стокса,
или
.
Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию
на произвольную ось
. Это определяет и сам вектор.