Атомный проект Ядерный арсенал АЭС Ядерная энергия Физика Ядерные реакторы ТЭС Экология Начертательная геометрия Выполнение чертежей AutoCAD Технические чертежи Ремонт ПК Накопители Звуковая плата Математика

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:
  1. Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрирования R;
  2. Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных ;
  3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и .
  4. Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

    Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми . Предел и непрерывность

    Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

    Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

    Матричный метод Пусть дано матричное уравнение:

    Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Интегралы по поверхности 1 и 2 рода

Поверхностные интегралы 1-го рода. Пусть - двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

На главную