|
| -
Зарождение и развитие систем компьютерной алгебры Эру создания компьютерной
символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов. Именно тогда в
вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, не совсем
точно, но зато броско названная компьютерной алгеброй Системы
символьной математики для персональных компьютеров
-
Математические системы Mathematica В 80-е годы возможностями символьной математики
увлекся защитивший докторскую диссертацию Стивен Вольфрам (Stephen Wolfram) из
США У разных фирм различны подходы к обозначению новых версий
своих программных продуктов. MathSoft, Inc., к примеру, за какие-то пять лет
породила добрый десяток новых версий популярной системы Mathcad — 3.0, 4.0, 5.0,
Plus 5.0, 6.0, Plus 6.0, 7.0, Plus 7.0, 8.0, 8.0 PRO и даже Mathcad 2000 PRO/Premium.
Ожидалось, что, как и предшествующие реализации 1 и 2, система Mathematica 3 даст
начало многолетнему марафону постепенного
усовершенствования этой системы. Геометрические
и физические приложения кратных интегралов
-
Структура систем Mathematica и их идеология Следует отметить, что скромные
(в смысле аппаратных требований) версии системы Mathematica 2.2.2 по сей день
производятся фирмой Wolfram и используются в основном в системе образования
Идеология систем Mathematica базируется на двух, казалось бы, взаимно исключающих
друг друга положениях:
- решение большинства математических задач в системе
может производиться в диалоговом режиме без традиционного программирования;
-
входной язык общения системы является одним из самых мощных языков функционального
программирования, ориентированных на решение различных задач (в том числе математических).
- Знакомство
с символьными вычислениями
Символьные операции — это как раз то, что кардинально отличает систему Mathematica
(и подобные ей символьные математические системы) от систем для выполнения численных
расчетов. Математика непрерывно
развивается, и ни один самый способный ученик не в состоянии (и слава Богу!) вместить
в извилины своего мозга все математические законы и правила, созданные за многовековую
историю человечества. В конечном счете,
СКМ — не более чем удобный и мощный инструмент для учащегося, педагога, инженера
или научного работника. Как его применять (в методическом, научном и практическом
отношении), зависит уже от пользователя. Интересно отметить, что, родившись как
программа для профессионалов, Mathematica в последние годы упорно позиционируется
фирмой Wolfram как система, перспективная не только для высшего, но и для
школьного образования. Продолжим знакомство с возможностями системы Mathematica
примерами работы с целыми числами.
Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными
выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические
выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных
и дифференциальных уравнений,
манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы,
анализировать функции, находить их пределы и т. д. Ситуация с применением математических
систем компьютерной алгебры осложняется тем, что они, как и
люди-математики, могут давать результаты в различной форме и даже делать ошибки.
Вынесенная в заголовок этого подраздела армейская поговорка как нельзя лучше характеризует
правильные приемы работы с математическими системами. Можно сказать, что даже
самые мощные системы для численных расчетов являются полными профанами в
символьной математике. Они начисто лишены даже задатков элементарного разума,
что видно уже из приведенного примера — даже школьник знает, что сумма квадратов
синуса и косинуса равна в точности единице при любом аргументе х
-
Установка систем и их особенности Объем инсталляционных файлов Mathematica
3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер,
на который они устанавливаются, должен иметь устройство
чтения CD-ROM. Mathematica 4 также поставляется на CD-ROM. Поскольку данная
книга посвящена детальному знакомству с системой Mathematica 4, мы рассмотрим
работу с CD-ROM этой системы более подробно. Для серьезной работы с системой Mathematica
4 ее следует установить на
жесткий диск компьютера. Перед этим надо проверить соответствие аппаратных
требований реальным возможностям вашего ПК.
После установки системы Mathematica 4 на жесткий диск в папке Программы главного
меню операционной системы Windows появляется позиция с ярлыками системы Mathematica
4
- Отличительные особенности
Mathematica 4 Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями
Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью
относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями
есть, и достаточно серьезные. Кардинально уменьшено и время обращения к памяти
при записи и считывании массивов, а заодно существенно повышена плотность упаковки
массивов для данных различного типа (за счет применения особой технологии
упаковки массивов). Математические
возможности системы Mathematica 4 существенно пополнены и улучшены
Графика всегда была козырной картой систем Mathematica. В новой версии системы
также реализованы многочисленные новые возможности. Следом за системами Maple
V R5 и Mathcad 8 PRO Mathematica 4 приобрела возможность быстрого вращения произвольных
трехмерных графиков.
-
Классифицировать системы компьютерной математики.
-
Интерфейс системы Строка меню и окно редактирования документов
-
Строка меню и окно редактирования документов До сих пор разработчики пользовательского
интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс
программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного
текстового процессора Word 95/97
- Палитры
математических операторов и функций У многих программ интерфейс предусматривает
вывод панелей с кнопками быстрого управления — уже привычными стали панели инструментов
и панели форматирования. С одной стороны, эти панели упрощают работу, особенно
для начинающих пользователей, но, с другой стороны, они загромождают экран.
-
Понятие о документах в форме notebooks Как уже отмечалось, для выполнения
простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое
выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter
используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода).
-
Особенности интерфейса Mathematica 4 Интерфейс системы Mathematica 4 в целом
повторяет интерфейс третьей версии, кратко описанный выше.
-
Работа с файлами Файлы — важнейший компонент любой программной среды или любого
приложения. В этом разделе мы познакомимся с различными типами файлов, обычно
называемыми их форматами. Основное внимание будет уделено файлам документов, которые
создаются пользователями систем Mathematica. Для работы с файлами служит
меню File Загрузка файлов
ранее созданных документов — одна из самых распространенных операций. Она реализуется
командой Open, которая служит для загрузки ранее созданного документа с его поиском
в файловой системе компьютера.
Команда Save As позволяет изменить имя файла и поместить его в любую директорию
любого диска. Любую часть документа после выделения можно
преобразовать в палитру. Для этого используется команда Generate Palette from
Selection. После настройки параметров можно осуществить собственно печать с помощью
команды Print для всего
документа или Print Selection для печати только выделенных ячеек.
-
Редактирование документа Под редактированием, строго говоря, подразумевается
модификация уже готового документа. Однако мы в данном разделе рассмотрим не только
редактирование, но и подготовку всего документа — начиная с этапов задания входных
ячеек с текстовыми комментариями, исходными данными для вычислений и необходимыми
расчетными формулами. При редактировании документа
курсор мыши приходится перемещать из одной ячейки в другую и обращаться к
командам меню для выполнения тех или иных операций, например, для копирования
содержимого ячейки в буфер, изменения шрифта и т. д. Важной частью профессионально
составленного документа являются
текстовые комментарии. Без них документ через некоторое время становится непонятным
даже его разработчику. Основные операции редактирования сосредоточены
в меню Edit. Как известно, операционные системы класса Windows имеют так называемый
буфер обмена
-
Работа с ячейками Итак, ячейки (Cells) являются основными объектами документов.
Ячейки отличаются друг от друга статусом, то есть совокупностью свойств, определяющих
тип ячейки и ее поведение в различных ситуациях.
В меню Cell собраны команды для работы с ячейками
При вводе данных в ячейки ввода данные представляются в одном из форматов,
заданных командой Default Input Format Type Работа с графическими и
звуковыми возможностями Mathematica обладает обширными возможностями
форматирования ячеек ввода и вывода
Опции стилей и программ и их изменение Утонченное управление
стилем документов
-
Ввод элементов документов Чтобы начать любые вычисления, нужно ввести по
крайней мере исходные данные для вычислений и математические выражения, по которым
выполняются вычисления Выбор
точки обзора трехмерных графиков Команда Color Selector выводит стандартное
окно изменения цветовой гаммы,
используемой при функциональной окраске графиков Иногда возникает необходимость
вставить в документ ссылку
на имя файла, в котором хранятся какие-либо данные При создании сложных документов
для диалогового режима работы с системой Mathematica иногда полезно
создание кнопок. Гиперссылка
является объектом класса ButtonBox (кнопка), связанным с некоторым другим объектом,
представленным файлом — например, каким-либо документом или рисунком. Еще одна
редко используемая возможность —
создание объекта, которому присвоен номер
-
Управление работой ядра В этом небольшом разделе рассматриваются достаточно
важные вопросы управления ядром систем Mathematica и, в конечном счете, процессом
вычислений. Новые версии Mathematica приобрели возможность работы не только с
установленным локальным ядром,
но и с другими ядрами, ориентированными на какие-либо специфические классы вычислений.
-
Операции поиска и замены относятся к типовым операциям редактирования документов.
Они, наряду с другими родственными операциями, собраны в меню Find. Обнаружение
и открытие выделенных строк
-
Работа с окнами и справкой Как и большинство приложений Windows, Mathematica
3/4 является многооконной системой. Поэтому важно с самого начала работы с ней
научиться управлять окнами системы.
Справочная база данных Справочная база данных управляется командами, расположенными
в меню Help (Справка).
Практически по каждой функции
приведен ряд примеров, которые открываются при активизации гиперссылки в виде
треугольника с надписью Further Examples Раздел справки The Mathematica Book —
это электронный вариант книги
Стивена Вольфрама по соответствующей версии системы. Последний раздел справочной
системы — алфавитный (или
индексный) указатель Master Index.
Другие команды меню Help
-
Управлять окном редактирования документов
-
Типы данных С этого урока начинается серьезное освоение математических возможностей
систем Mathematica 3 и 4. Мы изучим основные типы данных, операторов, функций
и объектов, с которыми может работать система Mathematica 3/4, а попутно познакомимся
и с некоторыми простыми операциями ввода данных и их обработки.
-
Основные классы данных Mathematica оперирует с тремя основными классами данных:
- численными данными, представляющими числа различного вида;
-
символьными данными, представляющими символы, тексты и математические выражения
(формулы);
- списками — данными в виде множества однотипных или разнотипных
данных. Целочисленные данные
(Integer) — это целые числа, например 1, 2 или 123, которые представляются системой
без погрешности и ограничения разрядности. Численные данные могут быть представлены
также десятичными вещественными
числами, которые могут иметь различную форму Многие математические операции
базируются на понятии комплексных
чисел. Выражения в
системе Mathematica обычно ассоциируются с математическими формулами В общем случае
система Mathematica оперирует
с объектами. Под ними подразумеваются математические выражения (ехрг), символы
(symbols), строки из символов (strings), упомянутые выше числа различного типа,
константы, переменные, графические и звуковые объекты и т. д.
Константы являются типовыми объектами системы, несущими заранее предопределенное
численное или символьное значение. Mathematica позволяет оперировать с
размерными величинами, которые широко используются в физических и химических
расчетах. В отличие от переменных в математике, каждая переменная в системе Mathematica,
как и в любой системе программирования, всегда отождествляется с некоторой физической
областью памяти, в которой и хранится
значение переменной. Оценивание переменных и
операции присваивания
-
Операторы и функции являются основными кирпичиками
в построении математических выражений, которые вычисляются или преобразуются системой
Mathematica. Кроме того, это важнейшие элементы языка программирования системы.
Важное достоинство систем символьной математики — выполнение арифметических вычислений
с произвольными разрядностью
и точностью. Спецификой систем Mathematica являются арифметические операторы
с укороченной формой записи,
объединяющие операцию присваивания с арифметической операцией Важнейшим объектом
любой компьютерной математической системы является функция. Она отражает зависимость
некоторой величины от одного или нескольких
аргументов. Пример обмена
переменных значениями Для реализации статистических методов моделирования используются
случайные числа Функции
выявления погрешностей и
анализа структуры чисел Хотя в систему входят многие сотни встроенных функций
(начиная от элементарных и кончая специальными математическими функциями и системными
функциями), нередко требуется расширить ее вводом новых функций, действие которых
задается пользователем.
Логическими принято называть
операции, отражающие чисто логическое соответствие между данными Основные логические
функции над логическими данными
р, q и т. д Функции комплексного
аргумента Элементарные
функции, надо полагать, хорошо известны читателю, взявшемуся за изучение Mathematica.
- Работа с объектами
В этом разделе мы познакомимся с понятием объектов и научимся работать с
ними. Объект — понятие обобщенное.
Оперативную помощь о назначении какой-либо функции или объекта в ходе работы
с системой можно получить, используя следующие обращения
Средства диагностики органично входят во все программные модули системы Mathematica,
созданные профессионально Опытный
пользователь нередко способен опознать ошибки и без слишком назойливых сообщений
о них. Защита от модификации
и ее отмена Важное значение в числовых и символьных преобразованиях имеют
операции подстановки (rules)
-
Работа со списками и массивами Списки относятся к данным множественного типа.
Они имеют большое значение при обработке массивов данных и служат основой для
создания векторов и матриц. В этом разделе мы познакомимся со свойствами списков,
их созданием (генерацией) и использованием. Для
генерации списков с элементами, являющимися вещественными и целыми числами
или даже целыми выражениями, часто используется функция Table, создающая таблицу-список
Выделение элементов списков
Вывод элементов списков
Списки относятся к данным сложной
структуры. Поэтому при работе с ними возникает необходимость контроля за структурой,
иначе применение списков может привести к грубым ошибкам, как явным, сопровождаемым
выдачей сообщения об ошибке, так и неявным Списки можно представить в виде особой
структуры данных — стека.
Стек — это структура данных, напоминающая стопку тарелок в шкафу.
Изменение порядка расположения элементов в списке Комбинирование списков и
работа с множествами
-
Операции линейной алгебры Линейная алгебра — один из фундаментальных разделов
математики. Он во многом способствовал развитию методов вычислений. Средства линейной
алгебры (преобразование матриц, решение систем линейных уравнений и т. д.) широко
используются при решении задач механики, электро- и радиотехники и других отраслей
науки и техники. Массивы,
в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной
алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения
таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.
Функции линейной алгебры Приведем также примеры на
решение систем линейных уравнений матричными методами.
-
Использовать основные классы данных системы Mathematica
-
Операции математического анализа В этом уроке описаны основные операции математического
анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике.
Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических
расчетов и потому описаны достаточно полно
-
Вычисление сумм Суммы и произведения легко вычисляются численными математическими
системами, такие вычисления просто описываются на всех языках программирования.
Вычисление сумм в численном
виде
- Вычисление
произведений Эти функции применяются с теми же опциями, которые используются
для функции Nsum, что позволяет управлять вычислительным процессом.
-
Вычисление производных К числу наиболее часто используемых математических
операций принадлежит вычисление производных функций как в аналитической, так и
в символьной форме
- Вычисление
интегралов Одна из важнейших операций — вычисление первообразных и определенных
интегралов в символьном виде. Первообразная — это функция F(x), удовлетворяющая
уравнению Вычисление определенных
интегралов Mathematica способна вычислять даже
кратные интегралы с фиксированными и переменными верхним или нижним пределами.
При вычислении сложных интегралов,
например не имеющих представления через элементарные функции, система Mathematica
2 обращалась к своим пакетам расширений в попытке найти решение, которое может
быть представлено через специальные математические функции.
-
Вычисление пределов функций Многие функции при приближении аргумента к некоторому
значению или к некоторой области значений стремятся к определенному пределу.
-
Уравнения и системы уравнений Многие математические задачи сводятся к решению
в общем случае нелинейных уравнений вида f(x) = 0 или f(x) = expr. Решение
систем нелинейных уравнений в символьном виде С функцией
Solve можно использовать ряд опций. Их можно вывести командой Options [Solve]
Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют
аналитических решений. Однако их решение вполне возможно
численными методами Для
вычисления корней полиномиальных уравнений используется функция Roots Имеется
также ряд дополнительных функций,
которые используются описанными ранее функциями и также могут применяться при
решении нелинейных уравнений
Графическая иллюстрация и выбор метода решения уравнений Многие уравнения
с тригонометрическими функциями могут иметь периодические или близкие к ним решения.
К сожалению, функции Mathematica, вычисляющие корни уравнений, не способны в этом
случае дать сразу несколько
корней Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решения всех представленных
выше примеров выглядят не совсем обычно — в виде
списка подстановок
-
Дифференциальные уравнения Дифференциальными принято называть уравнения,
в состав которых входят производные функции у(х), представляющей решение уравнения.
-
Оптимизационные задачи В практике математических прикладных вычислений важная
роль принадлежит оптимизационным задачам, например таким, как поиск минимальных
и максимальных значений функций одной или нескольких переменных. Поиск глобального
максимума и минимума аналитической функции
-
Преобразования Лапласа — важный вид интегральных преобразований. Они лежат
в основе, например, символического метода расчета электрических цепей.
-
Вычислять суммы в аналитическом и численном видах
-
Представление и обработка данных — еще один класс математических задач, имеющих
явно практическую направленность.
-
Разложение функций в ряды Одна из широко распространенных математических задач
представления данных — разложение заданной аналитической функции в степенной ряд
Тейлора относительно некоторой узловой точки с абсциссой хО Удаление члена с остаточной
погрешностью ряда
-
Спектральный подход (метод) лежит в основе целых направлений науки и техники.
Достаточно отметить, что он плодотворно используется в технике электро- и радиосвязи,
где разделение частот модулированных сигналов базируется на различии их спектров.
Прямое и обратное преобразования
Фурье Итак, прямое преобразование Фурье означает перевод временного
представления сигнала в частотное. Другими словами, оно позволяет получить
частотный спектр сигнала, представленного отсчетами его временной зависимости.
Нередко это является конечной целью спектрального анализа.
Фильтрация сигналов на основе преобразований Фурье Функции пакета —
FourierTransform
-
Интерполяция, аппроксимация и регрессия Нередко исходные данные при решении
математических задач представлены рядом точек произвольной зависимости вида у(х).
Сама по себе эта зависимость может быть неизвестной. Еще один широко используемый
вид аппроксимации — регрессия.
Она заключается в нахождении параметров некоторой функции регрессии, при которой
график этой функции проходит в облаке узловых точек, обеспечивая наименьшую среднеквадратичную
погрешность их представления.
-
Спектральный анализ с линейной интерполяцией сигналаКак уже отмечалось, одной
из проблем точного представления сигналов при гармоническом синтезе является ограничение
числа гармоник, связанное с конечностью числа отсчетов сигнала.
Учет искажений сигнала
-
Моделирование нелинейных цепей с применением интерполяции Интерполяция может
быть очень полезной при решении задач моделирования нелинейных цепей как с обычными
(например, электронные лампы и транзисторы), так и с необычными активными приборами,
например туннельными диодами или лавинными транзисторами.
- Находить разложения
заданных функций и выражений
в ряды Тейлора и Маклорена
|