Ограниченные очереди
Все рассмотренные до сих пор методы расчета систем с ожиданием опирались на предположение о том, что любое сколь угодно большое число ожидающих требований можно поставить в очередь. Во многих приложениях это предположение оказывается несправедливым. Примером систем, которые имеют существенно ограниченные по длине очереди, являются узлы коммутации с промежуточным накоплением, АРВ и различные типы устройств ввода — вывода ЭВМ. Эти системы обрабатывают поступающие вызовы тремя различными способами в зависимости от числа требований, пребывающих в системе в момент поступления вызова:
немедленное обслуживание, если из N обслуживающих приборов свободен хотя бы один;
обслуживание с задержкой, если все обслуживающие приборы заняты и меньше, чем L, требований ожидают обслуживания;
блокировка или отказ в обслуживании, если очередь длины L заполнена.
В системах с ограниченной очередью заблокированные вызовы — это такие вызовы, которые в противном случае в истинно «чистой» системе с ожиданием столкнулись бы с длительной задержкой. Таким образом, вероятность блокировки комбинированной системы с ожиданием и отказами может быть определена на основе вероятности того, что вызовы, поступающие в «чистую» систему с ожиданием, ждут обслуживания в течение времени свыше некоторой определенной величины. Однако при таком подходе есть две основные неточности. Первая — влияние исчезнувших заблокированных, или потерянных вызовов сводится к уменьшению перегрузки в течение какого-то периода времени и тем самым к уменьшению вероятностей ожидания для последующих вызовов. Вторая — времена ожидания не обязательно указывают на то, сколько вызовов пребывает в системе. Обычно длина очереди и вероятность блокировки определяются через число ожидающих требований, а не через объем работы или общую длительность обслуживания, соответствующих этим требованиям. При постоянной длительности обслуживания не возникает неопределенность в соотношении между длиной очереди и подразумеваемой ею задержкой. Однако при экспоненциально распределенной длительности обслуживания данная длина очереди допускает широкий спектр значений времени ожидания.
Узел коммутации сообщений является примером системы, в которой длину очереди наиболее уместно определять соответствующей длительностью обслуживания, а не числом ожидающих обслуживания требований. То есть максимальная длина очереди может быть определена объемом памяти для промежуточного накопления, доступного для сообщений переменной длины, а не некоторым фиксированным числом сообщений.
Всякий раз, когда узел коммутации сообщений или коммутации пакетов отказывает в обслуживании поступающему требованию, источник сообщений должен быть каким-то образом поставлен в известность об отказе. Во-первых, принимающий узел может оставаться пассивным и игнорировать поступающее требование. Тогда источник по таймауту в получении квитанции устанавливает, что передача была неудачной. Этот подход привлекателен в том отношении, что тайматуты так или иначе необходимы и перегруженному узлу или сети не нужно активно реагировать на поступление требования. Основной недостаток пассивного подхода состоит в том, что узел источника не узнает, почему передача была неудачной, и может продолжать передавать недоставляемые сообщения, тем самым продолжая создавать перегрузку на сети.
Второй очевидный подход состоит в том, чтобы система реагировала на все заблокированные требования передачей коротких управляющих сообщений, которые указывают, почему и где произошел отказ в обслуживании и какова должна быть соответствующая реакция.
В системе со случайным потоком вызовов, экспоненциально распределенной длительностью обслуживания, N обслуживающими приборами, бесконечно большим числом источников и максимальной длиной очереди L(M/M/JV/oo/L) вероятность пребывания в системе j вызовов
где
— интенсивность поступающей нагрузки, Эрл; N — число
обслуживающих приооров; ь — максимальное число мест ожидания в очереди.